Wielu studentów studiujących matematykę wyższą prawdopodobnie zastanawiało się: gdzie w praktyce stosuje się równania różniczkowe (DE)? Z reguły ta kwestia nie jest poruszana na wykładach, a nauczyciele od razu przechodzą do rozwiązywania DE bez wyjaśniania studentom zastosowania równań różniczkowych w prawdziwym życiu. Postaramy się wypełnić tę lukę.
Zacznijmy od zdefiniowania równania różniczkowego. Tak więc równanie różniczkowe jest równaniem, które łączy wartość pochodnej funkcji z samą funkcją, wartościami zmiennej niezależnej i niektórymi liczbami (parametrami).
Najczęstszym obszarem, w którym stosuje się równania różniczkowe, jest matematyczny opis zjawisk przyrodniczych. Wykorzystywane są również w rozwiązywaniu problemów, w których niemożliwe jest ustalenie bezpośredniego związku między niektórymi wartościami opisującymi proces. Takie problemy pojawiają się w biologii, fizyce, ekonomii.
W biologii:
Pierwszym znaczącym modelem matematycznym opisującym zbiorowiska biologiczne był model Lotki-Volterry. Opisuje populację dwóch oddziałujących ze sobą gatunków. Pierwszy z nich, zwany drapieżnikiem, w przypadku braku drugiego wymiera zgodnie z prawem x ′ = –ax (a> 0), a drugi – ofiara – w przypadku braku drapieżników rozmnaża się w nieskończoność zgodnie z prawem Malthusa. Interakcja tych dwóch typów jest modelowana w następujący sposób. Ofiary wymierają w tempie równym liczbie spotkań drapieżników i zdobyczy, co w tym modelu przyjmuje się za proporcjonalne do liczebności obu populacji, czyli równe dxy (d> 0). Dlatego y ′ = przez - dxy. Drapieżniki rozmnażają się w tempie proporcjonalnym do liczby zjedzonej zdobyczy: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Układ równań
x = –ax + cxy, (1)
y ′ = przez - dxy, (2)
drapieżnik-ofiara opisująca taką populację nazywana jest systemem (lub modelem) Lotki-Volterry.
W fizyce:
Drugie prawo Newtona można zapisać w postaci równania różniczkowego
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), gdzie m to masa ciała, x to jego współrzędna, F (x, t) to siła działająca na ciało o współrzędnej x w czasie t. Jego rozwiązaniem jest trajektoria ciała pod działaniem określonej siły.
W ekonomii:
Model naturalnego wzrostu produkcji
Założymy, że niektóre produkty są sprzedawane po stałej cenie P. Niech Q (t) oznacza ilość produktów sprzedanych w czasie t; wtedy w tym momencie dochód jest równy PQ (t). Niech część określonego dochodu zostanie wydana na inwestycje w produkcję sprzedawanych produktów, tj.
I (t) = mPQ (t), (1)
gdzie m to stopa inwestycji - liczba stała, a 0
